TIPOS DE NÚMEROS REALES
UN NÚMERO REAL PUEDE SER UN NÚMERO RACIONAL O UN NÚMERO IRRACIONAL. LOS NÚMEROS RACIONALES SON AQUELLOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS, TAL COMO 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES SON TODOS LOS DEMAŚ. LOS NÚMEROS RACIONALES TAMBIÉN PUEDEN DESCRIBIRSE COMO AQUELLOS CUYA REPRESENTACIÓN DECIMAL ES EVENTUALMENTE PERIÓDICA, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL APERIÓDICA:
EJEMPLOS
1/4 = 0.750000... ES UN NÚMERO RACIONAL PUESTO QUE ES PERIÓDICO A PARTIR DEL TERCER DECIMAL.
5/7 = 0.7142857142857142857.... ES RACIONAL Y TIENE UN PERÍODO DE LONGITUD 6 (REPITE 714285).
ES IRRACIONAL Y SU EXPANSIÓN DECIMAL ES APERIÓDICA
OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS REALES ES EN ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES. UN NÚMERO ES ALGEBRAICO SI EXISTE UN POLINOMIO QUE LO TIENE POR RAÍZ Y ES TRASCENDENTE EN CASO CONTRARIO. OBVIAMENTE, TODOS LOS NÚMEROS RACIONALES SON ALGEBRAICOS: SI ES UN NÚMERO RACIONAL, CON P ENTERO Y Q NATURAL, ENTONCES ES RAÍZ DEL BINOMIO QX=P. SIN EMBARGO, NO SE CUMPLE EL RECÍPROCO, NO TODOS LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS SON RACIONALES.
EJEMPLOS
EL NÚMERO ES ALGEBRAICO PUESTO QUE ES LA RAÍZ DEL POLINOMIO 8X3 − 12X2 + 6X − 8
UN EJEMPLO DE NÚMERO TRASCENDENTE ES
EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO
SE SABE QUE LOS BABILÓNICOS Y LOS EGIPCIOS HACÍAN USO DE FRACCIONES (NÚMEROS RACIONALES) EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICOS. SIN EMBARGO, NO FUE SINO HASTA EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA GRIEGA CUANDO SE CONSIDERÓ EL ASPECTO FILOSÓFICO DE NÚMERO. LOS PITAGÓRICOS DESCUBRIERON QUE LAS RELACIONES ARMÓNICAS ENTRE LAS NOTAS MUSICALES CORRESPONDÍAN A COCIENTES DE NÚMEROS ENTEROS, LO QUE LES INSPIRÓ A BUSCAR PROPORCIONES NUMÉRICAS EN TODAS LAS DEMÁS COSAS, LO QUE EXPRESARON CON LA MÁXIMA «TODO ES NÚMERO». EN LA MATEMÁTICA GRIEGA, DOS MAGNITUDES SON CONMENSURABLES SI ES POSIBLE ENCONTRAR UNA TERCERA DE MODO QUE LAS PRIMERAS DOS SEAN MÚLTIPLOS DE LA ÚLTIMA, ES DECIR, ES POSIBLE ENCONTRAR UNA UNIDAD COMÚN PARA LA QUE LAS DOS MAGNITUDES TIENEN UNA MEDIDA ENTERA. EL PRINCIPIO PITAGÓRICO DE QUE TODO NÚMERO ES UN COCIENTE DE ENTEROS, EXPRESABA EN ESTA FORMA QUE CUALESQUIERA DOS MAGNITUDES DEBEN SER CONMENSURABLES.
SIN EMBARGO, EL AMBICIOSO PROYECTO PITAGÓRICO SE VINO ABAJO CUANDO EL MISMO TEOREMA DE PITÁGORAS FUE DEMOSTRADO DE FORMA RIGUROSA Y GENERAL, DADO QUE LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES NO ES CONMENSURABLE CON LOS CATETOS. EN NOTACIÓN MODERNA, UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CUYOS CATETOS MIDEN 1, TIENE UNA HIPOTENUSA QUE MIDE :
SI ES UN NÚMERO RACIONAL DONDE P/Q ESTÁ REDUCIDO A SUS TÉRMINOS MÍNIMOS (SIN FACTOR COMÚN) ENTONCES 2Q²=P².
LA EXPRESIÓN ANTERIOR INDICA QUE P² ES UN NÚMERO PAR Y POR TANTO P TAMBIÉN, ES DECIR, P=2M. SUSTITUYENDO OBTENEMOS 2Q²=(2M)²=4M², Y POR TANTO Q²=2P².
PERO EL MISMO ARGUMENTO USADO NOS DICE AHORA QUE Q DEBE SER UN NÚMERO PAR, ESTO ES, Q=2N. MAS ÉSTO ES IMPOSIBLE, PUESTO QUE P Y Q NO TIENEN FACTORES COMUNES (Y HEMOS ENCONTRADO QUE 2 ES UN FACTOR DE AMBOS).
POR TANTO, LA SUPOSICIÓN MISMA DE QUE ES UN NÚMERO RACIONAL DEBE SER FALSA.
SURGIÓ ENTONCES UN DILEMA, YA QUE DE ACUERDO AL PRINCIPIO PITAGÓRICO, TODO NÚMERO ERA RACIONAL MAS LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES NO ERA CONMENSURABLE CON LOS CATETOS, LO CUAL IMPLICÓ QUE EN ADELANTE LAS MAGNITUDES GEOMÉTRICAS Y LAS CANTIDADES NUMÉRICAS TENDRÍAN QUE TRATARSE POR SEPARADO, HECHO QUE TUVO CONSECUENCIAS EN EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA DURANTE LOS DOS MILENIOS SIGUIENTES.2
LOS GRIEGOS DESARROLLARON ENTONCES UNA GEOMETRÍA BASADA EN COMPARACIONES (PROPORCIONES) DE SEGMENTOS SIN HACER REFERENCIA A VALORES NUMÉRICOS, USANDO DIVERSAS TEORÍAS PARA MANEJAR EL CASO DE MEDIDAS INCONMESURABLES, COMO LA TEORÍA DE PROPORCIONES DE EUDOXO. SIN EMBARGO LOS NÚMEROS IRRACIONALES PERMANECIERON A PARTIR DE ENTONCES EXCLUIDOS DE LA ARITMÉTICA PUESTO QUE SÓLO PODÍAN SER TRATADOS MEDIANTE APROXIMACIONES Y MÉTODOS INFINITOS. POR EJEMPLO, LOS PITAGÓRICOS ENCONTRARON (EN NOTACIÓN MODERNA) QUE SI A/B ES UNA APROXIMACIÓN A ENTONCES P=A+2B Y Q=A+B SON TALES QUE P/Q ES UNA APROXIMACIÓN MÁS PRECISA. REPITIENDO EL PROCESO NUEVAMENTE SE OBTIENEN MAYORES NÚMEROS QUE DAN UNA MEJOR APROXIMACIÓN.3 DADO QUE LAS LONGITUDES IRRACIONALES PODÍAN SER OBTENIDAS MEDIANTE PROCESOS GEOMÉTRICOS SENCILLOS PERO ARITMÉTICAMENTE SÓLO MEDIANTE PROCESOS INFINITOS, ÉSTA FUE LA RAZÓN POR LA QUE DURANTE 2000 AÑOS LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES FUE ESENCIALMENTE GEOMÉTRICA, IDENTIFICANDO LOS NÚMEROS REALES CON LOS PUNTOS DE UNA LÍNEA RECTA.
NUEVOS AVANCES EN EL CONCEPTO DE NÚMERO REAL ESPERARON HASTA LOS SIGLOS XVI Y XVII CON EL DESARROLLO DE LA NOTACIÓN ALGEBRAICA, LO QUE PERMITIÓ LA MANIPULACIÓN Y OPERACIÓN DE CANTIDADES SIN HACER REFERENCIA A SEGMENTOS Y LONGITUDES. POR EJEMPLO, SE ENCONTRARON FÓRMULAS PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO Y TERCER GRADO DE FORMA MECÁNICA MEDIANTE ALGORITMOS, LOS CUALES INCLUÍAN RADICALES E INCLUSO EN OCASIONES «NÚMEROS NO REALES» (LO QUE AHORA CONOCEMOS COMO NÚMEROS COMPLEJOS). SIN EMBARGO NO EXISTÍA AÚN UN CONCEPTO FORMAL DE NÚMERO Y SE SEGUÍA DANDO PRIMACÍA A LA GEOMETRÍA COMO FUNDAMENTO DE TODA LA MATEMÁTICA. INCLUSO CON EL DESARROLLO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESTE PUNTO DE VISTA SE MANTENÍA VIGENTE, PUES DESCARTES RECHAZABA LA IDEA QUE LA GEOMETRÍA PUDIERA BASARSE EN NÚMEROS, PUESTO QUE PARA ÉL LA NUEVA ÁREA ERA SIMPLEMENTE UNA HERRAMIENTA PARA RESOLVER PROBLEMAS GEOMÉTRICOS.
POSTERIORMENTE, LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO ABRIÓ UN PERÍODO DE GRANDE AVANCES DE LA MATEMÁTICA, CON NUEVOS Y PODEROSOS MÉTODOS QUE PERMITIERON POR VEZ PRIMERA ATACAR LOS PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL INFINITO MEDIANTE EL CONCEPTO DE LÍMITE. ASÍ, UN NÚMERO IRRACIONAL PUDO SER ENTENDIDO COMO EL LÍMITE DE UNA SUMA INFINITA DE NÚMEROS RACIONALES (POR EJEMPLO, SU EXPANSIÓN DECIMAL). COMO MUESTRA, EL NÚMERO Π PUEDE ESTUDIARSE DE FORMA ALGEBRAICA (SIN APELAR A LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA) MEDIANTE LA SERIE:
ENTRE MUCHAS OTRAS EXPRESIONES SIMILARES.
PARA ENTONCES, EL CONCEPTO INTUITIVO DE NÚMERO REAL ERA YA EL MODERNO, IDENTIFICANDO SIN PROBLEMA UN SEGMENTO CON LA MEDIDA DE SU LONGITUD (RACIONAL O NO). EL CÁLCULO ABRIÓ EL PASO AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, QUE ESTUDIA CONCEPTOS COMO CONTINUIDAD, CONVERGENCIA, ETC. PERO EL ANÁLISIS NO CONTABA CON DEFINICIONES RIGUROSAS Y MUCHAS DE LAS DEMOSTRACIONES APELABAN AÚN A INTUICIÓN GEOMÉTRICA. ESTO LLEVÓ A UNA SERIE DE PARADOJAS E IMPRECISIONES
UN NÚMERO REAL PUEDE SER UN NÚMERO RACIONAL O UN NÚMERO IRRACIONAL. LOS NÚMEROS RACIONALES SON AQUELLOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS, TAL COMO 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES SON TODOS LOS DEMAŚ. LOS NÚMEROS RACIONALES TAMBIÉN PUEDEN DESCRIBIRSE COMO AQUELLOS CUYA REPRESENTACIÓN DECIMAL ES EVENTUALMENTE PERIÓDICA, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL APERIÓDICA:
EJEMPLOS
1/4 = 0.750000... ES UN NÚMERO RACIONAL PUESTO QUE ES PERIÓDICO A PARTIR DEL TERCER DECIMAL.
5/7 = 0.7142857142857142857.... ES RACIONAL Y TIENE UN PERÍODO DE LONGITUD 6 (REPITE 714285).
ES IRRACIONAL Y SU EXPANSIÓN DECIMAL ES APERIÓDICA
OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS REALES ES EN ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES. UN NÚMERO ES ALGEBRAICO SI EXISTE UN POLINOMIO QUE LO TIENE POR RAÍZ Y ES TRASCENDENTE EN CASO CONTRARIO. OBVIAMENTE, TODOS LOS NÚMEROS RACIONALES SON ALGEBRAICOS: SI ES UN NÚMERO RACIONAL, CON P ENTERO Y Q NATURAL, ENTONCES ES RAÍZ DEL BINOMIO QX=P. SIN EMBARGO, NO SE CUMPLE EL RECÍPROCO, NO TODOS LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS SON RACIONALES.
EJEMPLOS
EL NÚMERO ES ALGEBRAICO PUESTO QUE ES LA RAÍZ DEL POLINOMIO 8X3 − 12X2 + 6X − 8
UN EJEMPLO DE NÚMERO TRASCENDENTE ES
EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO
SE SABE QUE LOS BABILÓNICOS Y LOS EGIPCIOS HACÍAN USO DE FRACCIONES (NÚMEROS RACIONALES) EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PRÁCTICOS. SIN EMBARGO, NO FUE SINO HASTA EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA GRIEGA CUANDO SE CONSIDERÓ EL ASPECTO FILOSÓFICO DE NÚMERO. LOS PITAGÓRICOS DESCUBRIERON QUE LAS RELACIONES ARMÓNICAS ENTRE LAS NOTAS MUSICALES CORRESPONDÍAN A COCIENTES DE NÚMEROS ENTEROS, LO QUE LES INSPIRÓ A BUSCAR PROPORCIONES NUMÉRICAS EN TODAS LAS DEMÁS COSAS, LO QUE EXPRESARON CON LA MÁXIMA «TODO ES NÚMERO». EN LA MATEMÁTICA GRIEGA, DOS MAGNITUDES SON CONMENSURABLES SI ES POSIBLE ENCONTRAR UNA TERCERA DE MODO QUE LAS PRIMERAS DOS SEAN MÚLTIPLOS DE LA ÚLTIMA, ES DECIR, ES POSIBLE ENCONTRAR UNA UNIDAD COMÚN PARA LA QUE LAS DOS MAGNITUDES TIENEN UNA MEDIDA ENTERA. EL PRINCIPIO PITAGÓRICO DE QUE TODO NÚMERO ES UN COCIENTE DE ENTEROS, EXPRESABA EN ESTA FORMA QUE CUALESQUIERA DOS MAGNITUDES DEBEN SER CONMENSURABLES.
SIN EMBARGO, EL AMBICIOSO PROYECTO PITAGÓRICO SE VINO ABAJO CUANDO EL MISMO TEOREMA DE PITÁGORAS FUE DEMOSTRADO DE FORMA RIGUROSA Y GENERAL, DADO QUE LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES NO ES CONMENSURABLE CON LOS CATETOS. EN NOTACIÓN MODERNA, UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CUYOS CATETOS MIDEN 1, TIENE UNA HIPOTENUSA QUE MIDE :
SI ES UN NÚMERO RACIONAL DONDE P/Q ESTÁ REDUCIDO A SUS TÉRMINOS MÍNIMOS (SIN FACTOR COMÚN) ENTONCES 2Q²=P².
LA EXPRESIÓN ANTERIOR INDICA QUE P² ES UN NÚMERO PAR Y POR TANTO P TAMBIÉN, ES DECIR, P=2M. SUSTITUYENDO OBTENEMOS 2Q²=(2M)²=4M², Y POR TANTO Q²=2P².
PERO EL MISMO ARGUMENTO USADO NOS DICE AHORA QUE Q DEBE SER UN NÚMERO PAR, ESTO ES, Q=2N. MAS ÉSTO ES IMPOSIBLE, PUESTO QUE P Y Q NO TIENEN FACTORES COMUNES (Y HEMOS ENCONTRADO QUE 2 ES UN FACTOR DE AMBOS).
POR TANTO, LA SUPOSICIÓN MISMA DE QUE ES UN NÚMERO RACIONAL DEBE SER FALSA.
SURGIÓ ENTONCES UN DILEMA, YA QUE DE ACUERDO AL PRINCIPIO PITAGÓRICO, TODO NÚMERO ERA RACIONAL MAS LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES NO ERA CONMENSURABLE CON LOS CATETOS, LO CUAL IMPLICÓ QUE EN ADELANTE LAS MAGNITUDES GEOMÉTRICAS Y LAS CANTIDADES NUMÉRICAS TENDRÍAN QUE TRATARSE POR SEPARADO, HECHO QUE TUVO CONSECUENCIAS EN EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA DURANTE LOS DOS MILENIOS SIGUIENTES.2
LOS GRIEGOS DESARROLLARON ENTONCES UNA GEOMETRÍA BASADA EN COMPARACIONES (PROPORCIONES) DE SEGMENTOS SIN HACER REFERENCIA A VALORES NUMÉRICOS, USANDO DIVERSAS TEORÍAS PARA MANEJAR EL CASO DE MEDIDAS INCONMESURABLES, COMO LA TEORÍA DE PROPORCIONES DE EUDOXO. SIN EMBARGO LOS NÚMEROS IRRACIONALES PERMANECIERON A PARTIR DE ENTONCES EXCLUIDOS DE LA ARITMÉTICA PUESTO QUE SÓLO PODÍAN SER TRATADOS MEDIANTE APROXIMACIONES Y MÉTODOS INFINITOS. POR EJEMPLO, LOS PITAGÓRICOS ENCONTRARON (EN NOTACIÓN MODERNA) QUE SI A/B ES UNA APROXIMACIÓN A ENTONCES P=A+2B Y Q=A+B SON TALES QUE P/Q ES UNA APROXIMACIÓN MÁS PRECISA. REPITIENDO EL PROCESO NUEVAMENTE SE OBTIENEN MAYORES NÚMEROS QUE DAN UNA MEJOR APROXIMACIÓN.3 DADO QUE LAS LONGITUDES IRRACIONALES PODÍAN SER OBTENIDAS MEDIANTE PROCESOS GEOMÉTRICOS SENCILLOS PERO ARITMÉTICAMENTE SÓLO MEDIANTE PROCESOS INFINITOS, ÉSTA FUE LA RAZÓN POR LA QUE DURANTE 2000 AÑOS LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES FUE ESENCIALMENTE GEOMÉTRICA, IDENTIFICANDO LOS NÚMEROS REALES CON LOS PUNTOS DE UNA LÍNEA RECTA.
NUEVOS AVANCES EN EL CONCEPTO DE NÚMERO REAL ESPERARON HASTA LOS SIGLOS XVI Y XVII CON EL DESARROLLO DE LA NOTACIÓN ALGEBRAICA, LO QUE PERMITIÓ LA MANIPULACIÓN Y OPERACIÓN DE CANTIDADES SIN HACER REFERENCIA A SEGMENTOS Y LONGITUDES. POR EJEMPLO, SE ENCONTRARON FÓRMULAS PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO Y TERCER GRADO DE FORMA MECÁNICA MEDIANTE ALGORITMOS, LOS CUALES INCLUÍAN RADICALES E INCLUSO EN OCASIONES «NÚMEROS NO REALES» (LO QUE AHORA CONOCEMOS COMO NÚMEROS COMPLEJOS). SIN EMBARGO NO EXISTÍA AÚN UN CONCEPTO FORMAL DE NÚMERO Y SE SEGUÍA DANDO PRIMACÍA A LA GEOMETRÍA COMO FUNDAMENTO DE TODA LA MATEMÁTICA. INCLUSO CON EL DESARROLLO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESTE PUNTO DE VISTA SE MANTENÍA VIGENTE, PUES DESCARTES RECHAZABA LA IDEA QUE LA GEOMETRÍA PUDIERA BASARSE EN NÚMEROS, PUESTO QUE PARA ÉL LA NUEVA ÁREA ERA SIMPLEMENTE UNA HERRAMIENTA PARA RESOLVER PROBLEMAS GEOMÉTRICOS.
POSTERIORMENTE, LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO ABRIÓ UN PERÍODO DE GRANDE AVANCES DE LA MATEMÁTICA, CON NUEVOS Y PODEROSOS MÉTODOS QUE PERMITIERON POR VEZ PRIMERA ATACAR LOS PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL INFINITO MEDIANTE EL CONCEPTO DE LÍMITE. ASÍ, UN NÚMERO IRRACIONAL PUDO SER ENTENDIDO COMO EL LÍMITE DE UNA SUMA INFINITA DE NÚMEROS RACIONALES (POR EJEMPLO, SU EXPANSIÓN DECIMAL). COMO MUESTRA, EL NÚMERO Π PUEDE ESTUDIARSE DE FORMA ALGEBRAICA (SIN APELAR A LA INTUICIÓN GEOMÉTRICA) MEDIANTE LA SERIE:
ENTRE MUCHAS OTRAS EXPRESIONES SIMILARES.
PARA ENTONCES, EL CONCEPTO INTUITIVO DE NÚMERO REAL ERA YA EL MODERNO, IDENTIFICANDO SIN PROBLEMA UN SEGMENTO CON LA MEDIDA DE SU LONGITUD (RACIONAL O NO). EL CÁLCULO ABRIÓ EL PASO AL ANÁLISIS MATEMÁTICO, QUE ESTUDIA CONCEPTOS COMO CONTINUIDAD, CONVERGENCIA, ETC. PERO EL ANÁLISIS NO CONTABA CON DEFINICIONES RIGUROSAS Y MUCHAS DE LAS DEMOSTRACIONES APELABAN AÚN A INTUICIÓN GEOMÉTRICA. ESTO LLEVÓ A UNA SERIE DE PARADOJAS E IMPRECISIONES
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